Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 59 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где r
0
и θ
0
— постоянные интегрирования (r
2
0
= |C| = −C
1
). Нетрудно видеть, что
найденные экстремали являются гиперболами. Действительно, поворотом системы
координат xy на угол θ
0
мы добиваемся (в новых декартовых координатах) равенства
θ
0
нулю. Тогда, например, при θ ∈ (0,
π
2
)
xy = r
2
(θ)
sin 2θ
2
=
r
2
0
2
.
Следует, однако, проявлять определенную осторожность в связи с требованием
строгой монотонности зависимости x от параметра. Так, например, при решении
предыдущей задачи нами были потеряны экстремали вида y = kx, что в полярных
координатах соответствует лучам θ = Const. В этом случае (т.е. когда точки P
1
и P
2
лежат на таких лучах) введения полярного угла θ в качестве параметра невозможно.
5.3. Случай производных высших порядков
Рассмотрим интеграл, зависящий от производных искомых функций до n-го порядка
включительно:
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
, . . . , y
(n)
) dx ,
считая, что функция F непрерывно дифференцируема по всем переменным (n + 1)
раз. Какому дифференциальному уравнению должна удовлетворять 2n раз непре-
рывно дифференцируемая функция y, сообщающая интегралу I экстремальное зна-
чение?
Замещая в интеграле I экстремальную функцию y = y(x) сравнимой
Y (x) = y(x) + tη(x) ,
где η — n раз непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным
условиям
η(x
1
) = η(x
2
) = η
0
(x
1
) = η
0
(x
2
) = . . . = η
(n−1)
(x
1
) = η
(n−1)
(x
2
) = 0 ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
