Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 57 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
откуда (ввиду ˙y = y
0
· ˙x)
∂G
∂x
−
d
dτ
∂G
∂ ˙x
= ˙y
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
.
Аналогично
∂G
∂y
=
∂F
∂y
· ˙x ,
∂G
∂ ˙y
=
∂F
∂y
0
·
1
˙x
· ˙x =
∂F
∂y
0
,
d
dτ
∂G
∂ ˙y
=
d
dτ
∂F
∂y
0
· ˙x ,
и тогда
∂G
∂y
−
d
dτ
∂G
∂ ˙y
) = ˙x
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
.
Мы проверили важное свойство инвариантности уравнения Эйлера–Лагранжа:
если кривая, вне зависимости от того, задана она однозначно или параметри-
чески, удовлетворяет уравнению Эйлера–Лагранжа
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
= 0 ,
то она также удовлетворяет системе (5.5) и обратно при любом выборе пара-
метра при условии ˙x 6= 0.
Это свойство позволяет при решении вариационной задачи использовать наибо-
лее удобные для данной задачи координаты. Так, например, для экстремалей инте-
грала
I =
x
2
Z
x
1
p
x
2
+ y
2
·
p
1 + y
02
dx
в исходных декартовых координатах получаем уравнение
y
p
1 + y
02
p
x
2
+ y
2
−
d
dx
y
0
p
x
2
+ y
2
p
1 + y
02
= 0 ,

Страницы