Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 66 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Используя формулу (3.8) дифференцирования интеграла, зависящего от параметра,
найдем
I
0
(t) =
dX
2
dt
· F
x=X
2
+
X
2
Z
x
1
∂F
∂Y
· η +
∂F
∂Y
0
· η
0
dx
=
dX
2
dt
· F +
∂F
∂Y
0
· η
x=X
2
+
X
2
Z
x
1
h
∂F
∂Y
−
d
dx
∂F
∂Y
0
i
η dx ,
и при t = 0
I
0
(0) =
∂F
∂y
0
−
∂g
∂y
2
· F
∂g
∂x
2
+ y
0
·
∂g
∂y
2
η
x=x
2
+
x
2
Z
x
1
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
η dx = 0 . (5.12)
Положим сначала η(x
2
) = 0. Тогда имеет место уравнение Эйлера–Лагранжа
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
= 0 .
Считая теперь, что уравнение Эйлера–Лагранжа выполнено, положим в (5.12)
η(x
2
) = 1. Тогда получаем условие
∂F
∂y
0
−
∂g
∂y
2
· F
∂g
∂x
2
+ y
0
·
∂g
∂y
2
x=x
2
= 0 , (5.13)
которое называется условием трансверсальности экстремали и кривой (5.9). Заме-
тим, что если кривая (5.9) задана явно
y = ϕ(x) : g(x, y) = ϕ(x) − y ,
∂g
∂x
= ϕ
0
,
∂g
∂y
= −1 ,

Страницы