Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 67 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
то условие трансверсальности примет вид
∂F
∂y
0
+
F
ϕ
0
− y
0
x=x
2
= 0 , (5.14)
или
F (x, y, y
0
) +
ϕ
0
(x) − y
0
(x)
F
0
y
0
(x, y, y
0
)
x=x
2
= 0 . (5.15)
Отметим, что условие трансверсальности выполняется для экстремали, пересе-
кающей кривую (5.9), а не касающейся ее (y
0
6= ϕ
0
), отсюда и название.
Аналогичное условие возникнет и для левого конца, если ему разрешить менять-
ся на какой–нибудь заданной кривой.
Посмотрим, что означает условие трансверсальности в случае функции Лагранжа
F вида
F (x, y, z) = H(x, y)
p
1 + z
2
.
Ограничимся явным заданием кривой. В этом случае в точке свободного конца
H
y
0
p
1 + y
02
+
H
p
1 + y
02
ϕ
0
− y
0
= 0 ,
откуда (считая, что H 6= 0)
ϕ
0
y
0
− y
02
+ 1 + y
02
= 0 ,
т.е.
ϕ
0
y
0
= −1 .
Но это есть в точности условие ортогональности
экстремали y = y(x) и кривой
свободного конца y = ϕ(x).

Страницы