Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 69 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
производных), которому должна удовлетворять дважды непрерывно дифференцируе-
мая функция z(x, y), доставляющая интегралу (5.16) экстремальное значение. Пред-
полагается, что функция z принимает на границе области ∂D заданные значения:
z(x, y)
∂D
= f(x, y) , (x, y) ∈ ∂D. (5.17)
Как и ранее, будем считать, что z(x, y) — функция, доставляющая решение по-
ставленной задаче, и введем однопараметрическое семейство функций сравнения
Z(x, y) = z(x, y) + tζ(x, y) ,
где вариация функции ζ является непрерывно дифференцируемой функцией, удо-
влетворяющей нулевым граничным условиям
ζ(x, y)
∂D
= 0 . (5.18)
Заменяя z в интеграле на Z, приходим к функции одной вещественной переменной
I(t) =
ZZ
D
F (x, y, Z, Z
0
x
, Z
0
y
) dxdy
с условием экстремальности при t = 0:
I
0
(0) = 0 .
Согласно теореме дифференцирования интеграла, зависящего от параметра
I
0
(t) =
ZZ
D
∂F
∂Z
· ζ +
∂F
∂Z
0
x
· ζ
0
x
+
∂F
∂Z
0
y
· ζ
0
y
dxdy .
При t = 0 получаем равенство
ZZ
D
∂F
∂z
· ζ +
∂F
∂z
0
x
· ζ
0
x
+
∂F
∂z
0
y
· ζ
0
y
dxdy = 0 . (5.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
