Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 70 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Воспользуемся формулой Грина
ZZ
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dxdy =
I
∂D
P dx + Qdy .
Тогда
ZZ
D
∂
∂x
∂F
∂z
0
x
· ζ
+
∂
∂y
∂F
∂z
0
y
· ζ
dxdy =
I
∂D
∂F
∂z
0
x
· ζdy −
∂F
∂z
0
y
· ζdx ,
откуда в силу нулевых граничных условий для функции ζ (что обращает в ноль
интеграл по границе области)
ZZ
D
∂F
∂z
0
x
· ζ
0
x
+
∂F
∂z
0
y
· ζ
0
y
dxdy = −
ZZ
D
∂
∂x
∂F
∂z
0
x
+
∂
∂y
∂F
∂z
0
y
· ζ dxdy .
Учет последнего равенства в (5.19) ведет к равенству
ZZ
D
∂F
∂z
−
∂
∂x
∂F
∂z
0
x
−
∂
∂y
∂F
∂z
0
y
· ζ dxdy = 0 ,
и, в силу основной леммы (ввиду произвольности ζ), — к уравнению Эйлера
∂F
∂z
−
∂
∂x
∂F
∂z
0
x
−
∂
∂y
∂F
∂z
0
y
= 0 . (5.20)
5.5.1.2. Естественное условие на границе Мы можем легко расширить резуль-
тат предыдущего пункта на случай отсутствия условий на границе области. Вариа-
ция интеграла запишется в виде
I
∂D
∂F
∂z
0
x
· ζdy −
∂F
∂z
0
y
· ζdx +
ZZ
D
∂F
∂z
−
∂
∂x
∂F
∂z
0
x
−
∂
∂y
∂F
∂z
0
y
· ζ dxdy = 0 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
