Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 71 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Считая уравнение Эйлера выполненным и параметризуя контур интегрирования ∂D:
x = x(s) , y = y(s) , s ∈ [s
1
, s
2
] ,
приходим к равенствам
I
∂D
∂F
∂z
0
x
· ζdy −
∂F
∂z
0
y
· ζdx =
s
2
Z
s
1
∂F
∂z
0
x
·
dy
ds
−
∂F
∂z
0
y
·
dx
ds
ζ ds = 0 ,
откуда в силу основной леммы
∂F
∂z
0
x
·
dy
ds
−
∂F
∂z
0
y
·
dx
ds
∂D
= 0 . (5.21)
Если условия на границе охватывают лишь часть границы, то равенство
∂F
∂z
0
x
·
dy
ds
−
∂F
∂z
0
y
·
dx
ds
= 0
должно выполняться, очевидно, для оставшейся части границы. Отметим, что гео-
метрически полученное условие означает, что вектор
∂F
∂z
0
x
,
∂F
∂z
0
y
является касательным к границе ∂D, т.к. вектор ( ˙y, −˙x) ей перпендикулярен.
5.5.1.3. Волновое уравнение Рассмотрим струну, натянутую вдоль оси x и со-
вершающую колебания в плоскости xu, перпендикулярно к оси x. Концы струны
будем считать закрепленными в точках (0, 0) и (l, 0). Считая струну абсолютно

Страницы