Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 72 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
упругой, найдем потенциальную энергию как работу сил деформации, идущую на
растяжение, т.е.
V = τ
l
Z
0
p
1 + u
02
x
dx − l
≈
τ
2
l
Z
0
u
02
x
dx ,
где τ — натяжение струны.
Кинетическая энергия струны выражается интегралом
T =
1
2
l
Z
0
ρu
02
t
dx ,
где ρ — (линейная) плотность струны.
Согласно вариационному принципу Гамильтона колебания u(x, t) струны на вре-
менном интервале [t
1
, t
2
] являются экстремалями функционала
I =
t
2
Z
t
1
(T − V ) dt ,
т.е. функционала
I =
1
2
t
2
Z
t
1
l
Z
0
(ρu
02
t
− τu
02
x
) dxdt .
Уравнение Эйлера для данного функционала ведет к хорошо известному волно-
вому уравнению
∂
∂t
ρu
0
t
−
∂
∂x
τu
0
x
= 0 ⇒
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
, a =
r
τ
ρ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
