Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 73 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
5.5.2. Экстремали тройного интеграла
5.5.2.1. Уравнение Эйлера Рассмотрим тройной интеграл
I =
ZZZ
D
F (x, y, z, u, u
0
x
, u
0
y
, u
0
z
) dxdydz (5.22)
по области D пространства xyz. Функция Лагранжа F считается дважды непрерыв-
но дифференцируемой. Область D считается замкнутой и ограниченной, с границей,
состоящей из конечного числа гладких замкнутых поверхностей, ориентированных
стандартно (т.е. фиксируется внешняя сторона поверхности).
Нас интересует дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять
дважды непрерывно дифференцируемая функция u(x, y, z), доставляющая интегра-
лу (5.22) экстремальное значение. Предполагается, что функция u принимает на
границе области ∂D заданные значения:
u(x, y, z)
∂D
= f(x, y, z) , (x, y, z) ∈ ∂D . (5.23)
Как и ранее, будем считать, что u(x, y, z) — функция, доставляющая решение
поставленной задаче, и введем однопараметрическое семейство функций сравнения
U(x, y, z) = u(x, y, z) + tυ(x, y, z) ,
где вариация функции υ является непрерывно дифференцируемой функцией, удо-
влетворяющей нулевым граничным условиям
υ(x, y, z)
∂D
= 0 . (5.24)
Заменяя u в интеграле на U , приходим к функции одной вещественной переменной
I(t) =
ZZ
D
F (x, y, z, U, U
0
x
, U
0
y
, U
0
z
) dxdydz
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
