Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 77 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где η
1
, η
2
— непрерывно дифференцируемые функции, причем
η
1
(x
1
) = η
1
(x
2
) = η
2
(x
1
) = η
2
(x
2
) = 0 .
Нулевые граничные условия на вариации η
1
, η
2
обеспечивают выполнение равенств
Y (x
1
) = y
1
, Y (x
2
) = y
2
.
Замещая y на Y в интегралах I и J, получаем две функции от двух вещественных
переменных каждая:
I(t
1
, t
2
) =
x
2
Z
x
1
F (x, Y, Y
0
) dx ,
J(t
1
, t
2
) =
x
2
Z
x
1
G(x, Y, Y
0
) dx ,
где, как всегда, Y
0
= y
0
+ t
1
η
0
1
+ t
2
η
0
2
, функции η
1
, η
2
— фиксированы. Ясно, что
параметры t
1
и t
2
не являются независимыми, т.к. интеграл J сохраняет постоянное
значение:
J(t
1
, t
2
) = J
0
= Const .
Вместе с тем при t
1
= t
2
= 0 интеграл I достигает своего экстремального значения.
Мы видим, что поставленная выше задача на экстремум функции I(t
1
, t
2
) при
условии постоянства функции J(t
1
, t
2
) является типичной задачей на условный экс-
тремум.
Согласно методу Лагранжа решения задач на условный экстремум введем функ-
цию Лагранжа
K(t
1
, t
2
, λ) = I(t
1
, t
2
) + λJ(t
1
, t
2
) =
x
2
Z
x
1
H(x, Y, Y
0
) dx ,

Страницы