Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 78 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где H = F + λG. Переменная λ называется множителем Лагранжа. Правило мно-
жителей Лагранжа утверждает, что экстремальные значения исходной задачи на
условный экстремум являются решениями системы:
∂K
∂t
1
= 0 ,
∂K
∂t
2
= 0 , J = J
0
.
Вычисляя
∂K
∂t
j
=
x
2
Z
x
1
h
∂H
∂Y
·
∂Y
∂t
j
+
∂H
∂Y
0
·
∂Y
0
∂t
j
i
dx =
x
2
Z
x
1
h
∂H
∂Y
· η
j
+
∂H
∂Y
0
· η
0
j
i
dx ,
j = 1, 2; при t
1
= t
2
= 0 находим
∂K
∂t
j
t
1
=t
2
=0
=
x
2
Z
x
1
h
∂H
∂y
· η
j
+
∂H
∂y
0
· η
0
j
i
dx = 0 .
Интегрируя по частям во вторых слагаемых и учитывая обращение в ноль внеинте-
гральных членов (в силу нулевых граничных условий для функций η
j
), приходим к
равенствам
x
2
Z
x
1
h
∂H
∂y
−
d
dx
∂H
∂y
0
i
η
j
dx = 0 .
В силу произвольности функций η
j
эти равенства, по-сути, эквивалентны и согласно
основной лемме введут к уравнению Эйлера–Лагранжа
∂H
∂y
−
d
dx
∂H
∂y
0
= 0 .

Страницы