Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 82 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
6.2. Задача Лагранжа
6.2.1. Простейший случай
Рассмотрим еще один вид вариационных задач на условный экстремум, называемых
задачами Лагранжа. Пусть пространственная кривая y = y(x) , z = z(x), соеди-
няющая фиксированные точки P
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и P
2
(x
2
, y
2
, z
2
) и лежащая на данной
поверхности, заданной уравнением
G(x, y, z) = 0 , (6.1)
доставляет минимум интегралу
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, z, y
0
, z
0
) dx . (6.2)
Какому дифференциальному соотношению должны подчиняться функции y и z?
Мы будем полагать функции y, z, F, G — дважды непрерывно дифференцируе-
мыми и считать, что производные
∂G
∂y
и
∂G
∂z
(6.3)
не обращаются в ноль одновременно.
Заметим, что если поверхность (6.1) может быть описана явно уравнением
z = z(x, y) ,
то поставленная задача сводится к простейшей задаче вариационного исчисления.
Однако практически более полезен прием, стандартный для задач на условный экс-
тремум.

Страницы