Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 83 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теорема 6.1 (Метод Лагранжа). Существует функция λ(x) такая, что кривая
y = y(x) , z = z(x) является экстремалью задачи на безусловный экстремум
функционала
J =
x
2
Z
x
1
(F −λG) dx .
Доказательство. Пусть кривая y = y(x) , z = z(x) является решением задачи
Лагранжа. Построим, как всегда, однопараметрическое семейство сравнимых кривых
Y = y+tη , Z = z+tζ, где функции η и ζ являются непрерывно дифференцируемыми,
удовлетворяющими нулевым граничным условиям. Получим функции переменной t:
I(t) =
x
2
Z
x
1
F (x, Y, Z, Y
0
, Z
0
) dx ,
g(t) = G(x, Y, Z) ,
причем
I
0
(0) = 0 , g(t) ≡ 0 .
Тогда
I
0
(0) =
x
2
Z
x
1
∂F
∂y
· η +
∂F
∂z
· ζ +
∂F
∂y
0
· η
0
+
∂F
∂z
0
· ζ
0
dx
=
x
2
Z
x
1
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
η +
h
∂F
∂z
−
d
dx
∂F
∂z
0
i
ζ
dx = 0 ,
причем тождественно по x
g
0
(0) =
∂G
∂y
· η +
∂G
∂z
· ζ = 0 .

Страницы