Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 85 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
и переписать эту систему в виде
∂F
∂y
− λ ·
∂G
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
= 0 ,
∂F
∂z
− λ ·
∂G
∂z
−
d
dx
∂F
∂z
0
= 0 ,
но это и есть уравнения Эйлера для функционала J ввиду независимости G от
производных.
6.2.2. Отыскание геодезических
В качестве приложений, посмотрим на задачу об отыскании геодезических как на
задачу Лагранжа. Иначе говоря, рассмотрим задачу о наименьшем значении инте-
грала
I =
x
2
Z
x
1
p
1 + y
02
+ z
02
dx
при условии
G(x, y, z) = 0 .
По правилу множителей Лагранжа эта задача сводится к задаче на безусловный
экстремум функционала
J =
x
2
Z
x
1
[
p
1 + y
02
+ z
02
− λG] dx .
Уравнения Эйлера для последнего дадут
λ
∂G
∂y
+
d
dx
y
0
p
1 + y
02
+ z
02
= 0 , λ
∂G
∂z
+
d
dx
z
0
p
1 + y
02
+ z
02
= 0 .

Страницы