Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 86 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Напомним, что вектор
−→
τ =
1
p
1 + y
02
+ z
02
,
y
0
p
1 + y
02
+ z
02
,
z
0
p
1 + y
02
+ z
02
является единичным касательным вектором к кривой
y = y(x) , z = z(x) .
Далее, в силу
−→
τ
2
= 1,
2
−→
τ
0
·
−→
τ = 0 ,
откуда
−→
τ
0
= κ
−→
n ,
где
−→
n — единичный вектор, перпендикулярный к кривой и называемый вектором
главной нормали, а κ — кривизна кривой. Уравнения Эйлера примут вид
λ
∂G
∂y
+ κn
2
= 0 , λ
∂G
∂z
+ κn
3
= 0 .
Заметим, также, что grad G является вектором, ортогональным к поверхности
G = 0 и, в частности, перпендикулярным к вектору
−→
τ :
∂G
∂x
+
∂G
∂y
· y
0
+
∂G
∂z
· z
0
= 0 .
Уравнения Эйлера ведут к пропорциональности векторов grad G и
−→
n . Действитель-
но, иначе вектор
grad G ×
−→
n
был бы ненулевым и параллельным вектору
−→
τ , но это не так в ввиду
(grad G ×
−→
n )
1
=
∂G
∂y
n
2
−
∂G
∂z
n
3
= 0 , τ
1
6= 0 .
Итак, главные нормали к геодезическим совпадают с нормалями к поверхности.

Страницы