Излучение, атомная и ядерная физика. Бугрова А.И - 52 стр.

                                           51

                 дΨ     h2
              ih    =−     ΔΨ + U( x , y , z ,t ) Ψ ,   (4.9)
                 дt     2m
где m − масса микрочастицы, Δ − оператор Лапласа (в декарто-
                                                                     д2  д2 д2
вых координатах оператор Лапласа имеет вид                        Δ= 2+ 2+ 2     ),
                                                                    дx  дy дz
U(x,y,z,t) − функция координат и времени, описывающая воздей-
ствие на частицу силовых полей (в стационарном случае U(x,y,z)
− потенциальная энергия частицы).
     Уравнение (4.9) называется общим (временным) уравнением
Шредингера. Оно дополняется условиями, накладываемыми на
функцию Ψ :
        1) Ψ − конечная, непрерывная и однозначная;
        2) производные от Ψ по x, y, z, t непрерывны (в отсутст-
           вии бесконечного скачка функции U(x,y,z,t));
        3) функция ⏐Ψ⏐ должна быть интегрируема, т.е. интеграл
                        2
         ∞ ∞ ∞

         ∫ ∫ ∫Ψ
                    2
                        dx dy dz должен быть конечным.
         - ∞ −∞−∞

     Уравнение Шредингера постулируется, его нельзя вывести
из старых принципов. Единственным подтверждением истинно-
сти уравнения Шредингера является только опыт − опытная про-
верка всех выводимых из него следствий. Такую проверку урав-
нение Шредингера выдержало.
     Для большого числа физических явлений, происходящих в
микромире, важно уметь находить стационарное решение урав-
нения (4.9), в котором исключается зависимость от времени. Оно
имеет смысл для тех задач, в которых все наблюдаемые физиче-
ские параметры стационарны, в частности U=U(x, y, z). Оказыва-
ется, что в стационарных состояниях решение уравнения Шре-
дингера может быть представлено в виде
                        Ψ ( x , y, z, t ) = ψ ( x , y, z) e- iω t ,
                                                           (4.10)
где частота ω постоянна, а функция ψ(x,y,z) не зависит от време-
ни.
     Для определения функции ψ(x,y,z) подставим выражение
(4.10) в уравнение (4.9) и найдем