Излучение, атомная и ядерная физика. Бугрова А.И - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

53
4.4. Примеры решения простейших
кванто-механических задач
4.4.1. Движение свободной частицы
Рассмотрим свободную частицу, движущуюся вдоль оси x.
Свободная
− это значит, что частица движется с постоянной ско-
ростью
V в отсутствии силовых полей, т.е. U(x, y, z)≡0. Тогда
полная энергия частицы есть её кинетическая энергия, а уравне-
ние Шредингера имеет вид
д
д x
m
E
2
2
2
0
2
ψ
ψ
+
h
=
. (4.12)
Введем обозначение
2
2
2
m
Ek
h
=
. Тогда уравнение (4.12) принима-
ет вид
д
д x
k
2
2
0
2
ψ
ψ
+=
. Его частное решение
ψ
(x)=A
0
cos kx −
знакомо нам из курса “Теории колебаний”, а общее решение мо-
жет быть записано в комплексной форме
ψ
(x)=A
0
e
ikx
+ B
0
e
-ikx
.
Учитывая соотношение (4.10), получим выражение для неста-
ционарной (полной) волновой функции
Ψ
(,)
((
((
xt A B
B
ii
i
E t
i
E t
=+
+
−−
−−
00
00
e e
A e e
t - k x) t + k x)
- p x ) + p x)
ωω
hh
=
(4.13)
Это есть суперпозиция двух волн де Бройля, распространяющих-
ся одна в положительном, а другая в отрицательном направлени-
ях, что соответствует движению частицы вдоль (
BB
0
= 0) или про-
тив (
A
0
= 0) оси x. Плотность вероятности обнаружения частицы
не зависит от времени и в любой точке пространства одинакова.
4.4.2. Частица в бесконечно глубокой одномерной
потенциальной яме
Для случая одномерной бесконечно глубокой “потенциаль-
ной ямы” потенциальная функция частицы
U(x) принимает зна-
чение, равное нулю на интервале 0
≤ x ≤ l и равна бесконечности
вне этого интервала. Подобная модель потенциального поля для
случая “ямы” конечной глубины позволяет получать не только 
                                                    53

                  4.4. Примеры решения простейших
                       кванто-механических задач
                  4.4.1. Движение свободной частицы
     Рассмотрим свободную частицу, движущуюся вдоль оси x.
Свободная − это значит, что частица движется с постоянной ско-
ростью V в отсутствии силовых полей, т.е. U(x, y, z)≡0. Тогда
полная энергия частицы есть её кинетическая энергия, а уравне-
ние Шредингера имеет вид
                        д2 ψ 2 m
                           2
                             + 2 Eψ = 0 .                (4.12)
                                     дx             h
                              2m
Введем обозначение              2
                                  E = k 2 . Тогда уравнение (4.12) принима-
                              h
           д2 ψ
ет вид        2
                + k 2ψ = 0 . Его частное решение ψ(x)=A0 cos kx −
           дx
знакомо нам из курса “Теории колебаний”, а общее решение мо-
жет быть записано в комплексной форме ψ(x)=A0 eikx + B0 e-ikx.
Учитывая соотношение (4.10), получим выражение для неста-
ционарной (полной) волновой функции
          Ψ ( x ,t ) = A0 e − i( ω t - k x ) + B 0 e − i( ω t + k x ) =
                                   i                             i
                               −     ( E t - p x)            −     ( E t + p x)       (4.13)
                        A0 e       h
                                                    + B0 e       h

Это есть суперпозиция двух волн де Бройля, распространяющих-
ся одна в положительном, а другая в отрицательном направлени-
ях, что соответствует движению частицы вдоль (B0 = 0) или про-                    B




тив (A0 = 0) оси x. Плотность вероятности обнаружения частицы
не зависит от времени и в любой точке пространства одинакова.
         4.4.2. Частица в бесконечно глубокой одномерной
                        потенциальной яме
     Для случая одномерной бесконечно глубокой “потенциаль-
ной ямы” потенциальная функция частицы U(x) принимает зна-
чение, равное нулю на интервале 0 ≤ x ≤ l и равна бесконечности
вне этого интервала. Подобная модель потенциального поля для
случая “ямы” конечной глубины позволяет получать не только

Страницы