Опорные конспекты по высшей математике. Часть 1. Бухенский К.В. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

151
3.5. Применение эквивалентных бесконечно малых
Бесконечно малые
(
)
x
α
и
(
)
x
β
называются эквивалент-
ными при
,a
x
→
если
(
)
()
.1lim =
→
x
x
ax
β
α
Обозначается эквивалент-
ность так:
()
(
)
xx
β
α
~
при a
x
→ . Применение эквивалентных
бесконечно малых является очень эффективным способом рас-
крытия некоторых неопределенностей. В основе лежит следую-
щая теорема.
Теорема. Пусть функции
(
)
x
α
и
(
)
x
1
α
являются эквива-
лентными при a
x
→ . Если существует конечный или беско-
нечный
(
)
(
)
,lim
1
xgx
ax
⋅
→
α
то существует и
(
)
(
)
xgx
ax
⋅
→
α
lim , при-
чем
()
(
)
(
)
(
)
.limlim
1
xgxxgx
axax
⋅
=
⋅
→→
α
α
(
)
(
)
xx
1
~Из этой теоремы следует, что если при a
x
→
α
α
и
() ()
xx
1
~
β
β
, то
(
)
(
)
(
)()
()
()
()
()
()
()
()
()
.limlimlimlim
;limlim
1
11
1
11
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
axaxaxax
axax
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
→→→→
→→
===
⋅
=
⋅
Эти равенства означают, что при вычислении пределов
множители в числителе или в знаменателе можно заменить на
эквивалентные.
Приведем некоторые пары эквивалентных бесконечно ма-
лых величин
(
)
(
)()
(
)
() () () ()
()
()()
,
2
~cos1
,~arctg,~tg
,~arcsin,~sin
2
x
x
xxxx
xxxx
α
α
αααα
α
α
α
α
−

Страницы