Опорные конспекты по высшей математике. Часть 1. Бухенский К.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

36
§ 2. Линейная зависимость векторов. Базис
С учетом операций сложения векторов и умножения векто-
ра на число вводится понятие линейной комбинации векторов
n
aaa
r
r
r
,...,,
21
:
nn
aaab
r
r
r
r
α++α+α= ...
2211
,
где – произвольные действительные числа.
n
ααα ,...,,
21
Рассмотрим понятие линейной зависимости векторов на
плоскости и в пространстве.
Опр. 1. Система векторов
n
aaa
r
r
r
,...,,
21
называется линейно
зависимой (л.з), если существуют действительные числа
n
α
α
α
,...,,
21
такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и
выполняется равенство векторов:
0...
2211
r
r
r
r
=α++α+α
nn
aaa
. (1)
Если равенство (1) выполняется только, когда
0...
21
=
===
n
α
α
α
, то система векторов
n
aaa
r
r
r
,...,,
21
называ-
ется линейно независимой (л.н.з).
Для ненулевых векторов
ba
r
r
, и справедливы следующие
утверждения.
c
r
Теорема 1.
ba
r
r
|| т. и т.т., когда и ba
r
r
л.з.
Следствие. Два неколлинеарных вектора л.н.з.
Теорема 2.
cba
r
r
r
,, компланарны. т. и т.т., когда cba
r
r
r
,, л.з.
Следствие. Три некомпланарных вектора л.н.з.
Опр. 2. Базисом на плоскости (пространство
2
R
) назовем
любые два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в
определенном порядке.
Опр. 3. Базисом в пространстве (пространство
3
R
) назо-
вем любые три некомпланарных вектора, взятые в определен-
ном порядке.
Теорема 3. Каждый вектор может быть разложен по ба-
зису на плоскости или в пространстве. Это разложение един-
ственно.

Страницы