ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
57
Опр. 3. Кв. ф. вида
()
∑
=
=
n
i
iiin
xaxxxf
1
2
21
,...,,
называется канонической.
Матрица канонической формы является диагональной. Что-
бы привести кв. ф. к каноническому виду, следует перейти к ба-
зису собственных векторов м.
Α
квадратичной формы.
Матрица кв. ф. симметричная
(
)
jiij
aa = . Собственные чис-
ла такой матрицы вещественные, а собственные векторы, соот-
ветствующие различным собственным числам, – ортогональны.
Если собственные числа м.
Α
различные, то соответст-
вующие собственные векторы
n
xxx
r
r
r
,...,,
21
образуют ортого-
нальный базис, который можно нормировать. В этом ортонор-
мированном базисе матрица кв. ф. будет иметь вид:
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
λ
=
0
...
0
1
Α
0
...
0
2
λ
...
...
...
...
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
n
λ
...
0
0
,
где
n
λ
λ
λ
,...,,
21
– собственные числа м.
Α
.
Линейное преобразование, которое приводит матрицу кв. ф.
к каноническому виду, имеет вид:
xx
′
⋅
=
r
r
Τ
, где
Τ
– матрица
перехода от базиса
n
xxx
r
r
r
,...,,
21
к ортонормированному базису
собственных векторов
n
xxx
′′′
r
r
r
,...,,
21
.
Опр. 4. Кв. ф. называется положительно определённой, ес-
ли все собственные числа матрицы кв. ф. положительны (
0>
i
λ
,
ni ,1= ), отрицательно определённой – отрицательны ( 0
<
i
λ
,
ni ,1= ). Если есть как положительные, так и отрицательные
собственные числа, то кв. ф. – знакопеременная.
Вопрос о знаке кв. ф. можно решить, не находя собствен-
ных чисел матрицы кв. ф.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
