Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

10
Понятие производной и соответствующий математический
аппарат широко используются в различных прикладных задачах.
Пример 1. Известно, что средняя скорость движения тела
определяется выражением
t
S
v =
( – путь, пройденный
телом, – время движения). Очевидно, что мгновенную ско-
рость можно найти, как
)(tSS =
t
)(
)()(
limlim
00
tS
t
tSttS
t
S
v
tt
′
=
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
– предел определяет
скорость в момент времени . В этом состоит механический
смысл производной.►
t
Пример 2. Возьмем на графике непрерывной функции
произвольные точки и
)(xfy = ),(
0
yxM ),(
1
yyxxM
Δ
+
Δ
+
и
проведем секущую
. Угол наклона
10
MM
ϕ
секущей к оси
определяется выраже-
нием
OX
x
y
Δ
Δ
ϕ
=tg
. Если
точка приближает-
ся к точке , двига-
ясь по графику функции
1
M
0
M
)(xfy
=
(при этом 0→
Δ
x ), то секу-
щая , поворачиваясь вокруг точки , стремится к неко-
торому предельному положению , которое называют ка-
сательной к графику данной функции
10
MM
0
M
NM
0
)(xfy
=
в точке ,
если предельное положение существует. Поэтому угловой ко-
эффициент касательной равен
0
M
N
x
xfxxf
x
y
k
xxx
Δ
Δ
Δ
Δ
ϕα
ΔΔΔ
)()(
limlimtglimtg
000
−
+
====
→→→
(в силу непрерывности функции
)(xfy
=
), если предел суще-
ствует и конечен. ►
Т.о., мы пришли к выводу:

Страницы