Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

12
Замечание 1. Если
±∞=
Δ
Δ
→Δ
x
f
x 0
lim , то говорят, что функция
имеет бесконечную производную знака «+» или «–».
Пример 3. Исходя из определения производной, найти про-
изводную функции
xy = .
◄ Зададим приращение x
Δ
, такое, что 0≥
Δ
+
xx .
Тогда
xxxy −Δ+=Δ
.
Поэтому
x
xxx
x
y
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
.
Переходим в последнем равенстве к пределу при
0→
Δ
x :
==
−+
==
′
→→
0
0
limlim)(
00
x
xxx
x
y
xy
xx
Δ
Δ
Δ
Δ
ΔΔ
,
2
1
)(
lim
0
xxxxx
x
x
=
++
=
→
ΔΔ
Δ
Δ
т. е.
x
x
2
1
)(
=
′
.►
Опр. 2.
x
y
xf
x
пр
Δ
Δ
=
′
+→Δ
lim
0
)( – правосторонняя производная
или ,
)0(
0
+
′
xf
x
y
xf
x
лев
Δ
Δ
=
′
−→Δ
lim
0
)( – левосторонняя производная или
.
)0(
0
−
′
xf
Замечание 2. Функция имеет производную в точке )(xf
0
xx =
0
x
, т. и т. т., когда существуют левые и правые производные
и они равны между собой.
§ 2. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
функции. Правила дифференцирования суммы, произведе-
ния и частного
Теорема 1. Если функция
)(xfy
=
дифференцируема в не-
которой точке, то она в этой точке непрерывна.

Страницы