Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

13
Очевидно, в точках разрыва
функция не может иметь производ-
ной. Это не значит, однако, что если
функция непрерывна в точке , то
она дифференцируема в ней. Рас-
смотрим функцию, график которой представлен на рисунке.
Функция непрерывна во всех точках отрезка
0
x
[
]
ba, . Однако, в
точке касательной не существует, то есть в этой точке первая
производная не существует (претерпевает разрыв) и функция
непрерывна, но не дифференцируема.
c
Рассмотрим функцию
xy =
, являющуюся непрерывной
при , но
),( +∞−∞∈x 1)0(
−
=
−
′
f , 1)0(
=
+
′
f
, то есть в точке
рассматриваемая функция непрерывна, но не дифферен-
цируема.
0=x
Теорема 2. Если функции
)(xu
)(xu
и )(xv
)(xv
дифференцируемы в
точке
x
, то сумма, произведение и частное этих функций (если
0)( ≠xv
) также дифференцируемы в этой точке и справедли-
вы следующие формулы:
1)
()
vuvu
′
±
′
=
′
± ;
2)
()
vuvuuv
′
+
′
=
′
;
3)
.0,
2
≠
′
−
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
v
v
vuvu
v
u
Следствие. Пусть функция
)(xuu
=
имеет производную в
точке
x
. Тогда функция )(xuc
⋅
, где cons
t
c
=
, также имеет в
этой точке производную и
)(
′
⋅ xuc
)(
′
⋅ xuc
()
)()( xucxcu
′
⋅=
′
, то есть постоян-
ная величина выносится за знак производной.
§ 3. Производная сложной и обратной функции
Теорема 1. Если функция
)(xu
ϕ
=
имеет производную в
точке
x
, а функция )(ufy
=
имеет производную в соответ-

Страницы