ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14
ствующей точке
)(
00
tx
ϕ
=
)(xu
ϕ
=
, то сложная функция ))(( xfy
ϕ
=
(
)
(
)
xfy =
имеет
()()
xfy =
производную в точке
x
, и имеет место формула:
)()()( xuuyxy
′
⋅
′
=
′
или
xux
uyy
′
⋅
′
=
′
или
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=
. (1)
Замечание. Если
(
)
))(( xfFy
ϕ
=
, то
xvux
vuyy
′
⋅
′
⋅
′
=
′
, где
,
),(xv ϕ= )(vfu = )(uFy
=
– дифференцируемые функции
своих аргументов.
Пример 1. Вычислить производную сложной функции
sin(),=y
)53sin( −= xy
.
◄ Введем обозначения )sin(uy
=
, 53
−
=
xu .
Воспользуемся формулой (1)
xux
uyy
′
⋅
′
=
′
:
)53cos(cos
−
=
=
′
xuy
u
, 3
=
′
x
u , тогда
3
=
'u
x
)53cos(3))'53(sin(
−
=
−
xx .►
Теорема 2. Пусть функция
)(xfy
=
непрерывна и строго
монотонна в некоторой окрестности точки
0
xx
=
, и пусть в
этой точке существует и не равна нулю производная этой
функции (
0)(
0
≠
′
xf
). Тогда обратная к функция
имеет производную в точке
)(xf
)(
1
yfx
−
= )(
00
xfy
=
, причем:
()
)(
1
)(
0
0
1-
xf
yf
′
=
′
или
dx
xdf
dy
ydf
)(
1
)(
0
0
1
=
−
.
Геометрический смысл производной обратной функции
Рассмотрим в окре-
стности точки график
функции . Из-
вестно, что
0
x
)(xfy =
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
