ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
101
()()()() ()()
=
∫
−
−
∫
−
=
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
∫
−−
6
4
6
4
6
4
6
4
131
1
3
1
13
2
x
dx
x
dx
dx
xxxx
dx
()
5
9
ln
3
1
ln
5
3
ln
1
3
ln1ln3ln
6
4
6
4
=−=
−
−
=−−−=
x
x
xx .►
§ 8. Методы интегрирования подстановкой
и по частям для определенного интеграла
8.1. Интегрирование подстановкой
При вычислении определенных интегралов часто использу-
ется метод подстановки, или метод замены переменной интег-
рирования.
Теорема 1. Пусть функция
(
)
xfy
=
непрерывна на сег-
менте
[]
ba,
и функция
(
)
tx
ϕ
=
непрерывна вместе со своей
производной
(
)
t
ϕ
′
на отрезке
[
]
β
α
, . Кроме того, при
[]
β
α
,∈t :
(
)
bta
≤
≤
ϕ
;
(
)
a
=
α
ϕ
и
(
)
b
=
β
ϕ
. Тогда справед-
лива формула:
() ()()()
∫
′
=
∫
β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
. (8)
Формула (8) называется формулой замены переменной в оп-
ределенном интеграле.
Замечание 1. После замены переменной
изменяются
пределы интегрирования! Новые пределы интегрирования
находятся из соотношений
(
)
a
=
α
ϕ
и
(
)
b
=
β
ϕ
.
Отметим, что:
1) функцию
(
)
tx
ϕ
=
следует подобрать так, чтобы, под-
ставив ее вместо
x
в подынтегральное выражение, по-
лучить более простой интеграл;
2) при вычислении определенного интеграла методом под-
становки возвращаться к старой переменной не требу-
ется (в отличие от неопределенного интеграла);
3) вместо подстановки
(
)
tx
ϕ
=
применяют и подстановку
()
xt
ψ
= .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
