ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
123
Опр. 4. Величина
() () ()
∫
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∫
+
∫
+∞
∞−−
∞→
dxxfPVdxxfdxxf
a
c
c
a
a
..
lim
, ),( aañ
−
∈
, (27)
(в случае его существования) называется главным значением не-
собственного интеграла
()
∫
+∞
∞−
dxxf . Справа в формуле (27) напи-
сано обозначение главного значения.
К примеру,
0
22
limlim
..
22
0
0
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∫
+
∫
=
∫
∞→
−
∞→
∞+
∞−
aa
xdxxdxxdxPV
a
a
a
a
.
Замечание 5. Если несобственный интеграл сходится, то
его значение совпадает с его главным значением.
10.2. Признаки сходимости несобственных интегралов
с бесконечными пределами
Теорема 1. Пусть на промежутке
[
)
+
∞,a каждая из функ-
ций
()
xf и
(
)
x
ϕ
удовлетворяет условиям определения 1 и для
всех
()
axx ≥
выполняется неравенство:
(
)()
xxf
ϕ
≤
≤
0 .
Тогда: 1) из сходимости интеграла
()
∫
+∞
a
dxx
ϕ
следует схо-
димость интеграла
()
∫
+∞
a
dxxf
, при этом
() ()
∫
≤
∫
+∞+∞
aa
dxxdxxf
ϕ
;
2) из расходимости интеграла
()
∫
+∞
a
dxxf следует
расходимость интеграла
()
∫
+∞
a
dxx
ϕ
.
Пример 7. Исследовать на сходимость
()
∫
+
+∞
1
2
3
x
ex
dx
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- …
- следующая ›
- последняя »
