ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
128
10.4. Признаки сходимости
несобственных интегралов II рода
Теорема 3. Пусть на отрезке
[
)
ba, каждая из функций
()
xf
и
()
x
ϕ
удовлетворяет условиям определения 5 и условию:
() ()
xxf
ϕ
≤≤0 . Тогда
1) из сходимости
()
∫
b
a
dxx
ϕ
следует сходимость интеграла
()
∫
b
a
dxxf
;
2) из расходимости
()
∫
b
a
dxxf следует расходимость ин-
теграла
()
∫
b
a
dxx
ϕ
.
Теорема 4. Пусть на отрезке
[
)
ba, функция
(
)
xf удовле-
творяет условиям определения 5. Тогда из сходимости инте-
грала
()
∫
b
a
dxxf следует сходимость интеграла
()
∫
b
a
dxxf .
В этом случае интеграл
()
∫
b
a
dxxf называется абсолютно
сходящимся.
Замечание 7. Аналогичные теоремы справедливы для
функций, удовлетворяющих определению 6.
Замечание 8. В качестве функций, с которыми удобно
сравнивать функции, стоящие под знаком несобственного инте-
грала, часто берут
()
α
xс −
1
. Легко проверить, что
()
∫
−
c
a
xс
dx
α
сходится при
1
<
α
, расходится при 1≥
α
. Это же относится и
к интегралам
()
∫
−
c
a
ax
dx
α
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- …
- следующая ›
- последняя »
