Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

144
Как это видно для функции от двух переменных ,
можно рассматривать четыре производных второго порядка.
),( yxf
Производные второго порядка можно снова дифференци-
ровать как по
x
, так и по
y
. Получим частные производные
третьего порядка. Их будет уже восемь:
.,,,,,,,
3
3
2
33
2
3
2
33
2
3
3
3
y
z
xy
z
yxy
z
xy
z
yx
z
xyx
z
yx
z
x
z
∂
∂
∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
Вообще, частная производная -го порядка есть первая
производная от производной (
n
1
−
n )-го порядка. Например,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
yx
z
xyx
z
2
3
3
4
.
Естественно возникает вопрос, будут ли равны между собой
частные производные, если они взяты по одним и тем же пере-
менным одно и то же число раз, но в разном порядке. Например,
равны ли и
xxy
z
′′′
yxx
z
′
′
′
и
zyx
z
′
′
′
?
В общем случае скажем: если нарушается непрерывность в
точке у этих производных, то ответ на этот вопрос отри-
цательный.
),( yx
Например, если
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
≠+
+
=
,0,0
,0,
),(
22
22
2
yx
yx
yx
xy
yxf
то
;
)(
)(
),(
222
222
'
yx
yxy
yxf
x
+
−
=
;
)(
2
),(
222
3
'
yx
yx
yxf
y
+
=
; 0
22
≠+ yx
;0
00
lim
)0,0()0,(
lim)0,0(
00
'
=
−
=
−
=
→→
xx
fxf
f
xx
x
ΔΔ
Δ
ΔΔ
.0
00
lim
)0,0(),0(
lim)0,0(
00
'
=
−
=
−
=
→→
yy
fyf
f
yy
y
ΔΔ
Δ
ΔΔ
Аналогично вычисляются смешанные производные:

Страницы