ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
146
В этом проявляется инвариантность формы первого диф-
ференциала.
Дифференциал высшего порядка
функции нескольких независимых переменных
Пусть функция
),( yxfz
=
имеет вторые непрерывные ча-
стные производные. Второй дифференциал от нее определяется
равенством
)(
2
dzdzd =
при этом дифференциалы
dx , dy рассматриваются как незави-
сящие от
x
и и дифференциал -го порядка функции
y 2
z
вы-
числяется по формуле
2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
.
Для функции большего числа переменных
),....,(
1 n
xxfz
=
с использованием сокращенного обозначения символа сумми-
рования получим следующую формулу
∑∑
==
∂∂
∂
=
n
j
n
i
ji
ji
dxdx
xx
z
zd
11
2
2
.
Так как
jiij
zz
′
′
=
′
′
, то второй дифференциал от нее представ-
ляет собой квадратичную форму относительно независимых
дифференциалов
.,1: nkdx
k
=
Для дифференциала -го порядка функции двух незави-
симых переменных
n
),( yxfz
=
при наличии соответствующих
производных справедлива следующая символическая формула:
z
y
dy
x
dxzd
n
n
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
,
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Вообще, дифференциал произвольного порядка от функции
z
для независимых дифференциалов
nkdx
k
,1: = определяется по
индукции при помощи рекуррентного соотношения
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- …
- следующая ›
- последняя »
