Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

171
существования и единственности решения задачи Коши этого
уравнения, то есть решение
(
)
(
)
00
≠
=
=
xxyy оказалось по-
терянным. Однако оно входит в формулу (15) при
0
=
C
. По-
этому, допуская в (15)
0
=
C , получаем, что общее решение
уравнения (13) при
(
)
0
≠
x имеет вид
x
C
y =
,
где С – произвольная постоянная.
Заметим, что функция
(
)
(
)
00
≠
=
=
yyxx
является реше-
нием "перевернутого" по отношению к (13) уравнения
y
x
dy
dx
−=
.►
Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения
yy 2=
′
, удовлетворяющее начальному условию 2
1
=
=x
y .
◄ Разделим переменные, умножив обе части уравнения на
(
0
2
≠y
y
dx
)
. Имеем
.
2
dx
y
dy
=
Интегрируя последнее уравнение, получаем
∫
+
∫
= Cdx
y
dy
2
или .Cxy +=
Так как 0>y , то в последнем соотношении 0>
+
Cx .
Отсюда находим общее решение данного уравнения в области
0, >+∞< yx :
(
)
CxCxy −>+= ,
2
.
Выделим частное решение, удовлетворяющее начальному
условию
2
1
=
=x
y . Для этого в формуле общего решения поло-
жим , получим уравнение для определения значения
константы
2,1 == yx
(
)
2
12: СC += . Из него находим 12 −±=C . Из

Страницы