ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
172
двух значений выбираем 12 −=C , так как точка
(
)
2;1 не ле-
жит на кривой
(
)
12,12
2
+>−−= xxy .
Итак, искомое решение есть
()
.21,12
2
−>−+= xxy ►
Пример 5. Найти общий интеграл уравнения
(
)
.012
2
=−+ dxydyxy (16)
◄ ОДУ (16) – это уравнение с разделяющимися перемен-
ными. Умножив обе части его на функцию
()
()
1,0
1
1
2
±≠≠
−
yx
xy
,
получим уравнение с разделенными переменными
.0
1
2
2
=
−
+ dy
y
y
x
dx
(17)
Общим интегралом последнего является соотношение
Cdy
y
y
x
dx
=
−
+
∫∫
2
1
2
или
.1ln2
2
Cyx =−− (18)
Сл-но, (18) есть общий интеграл ОДУ (16).
Заметим, что формула (18) получена в предположении, что
. Функции
(
10 ±≠≠ yx ,
)
(
)
(
)
01
≠
±
=
= xxyy и
() ( )
10
±
≠
== yyxx являются, очевидно, решениями (16) и
они не входят в (18) ни при каком конечном значении константы
С . Покажем, что функции
(
)
(
)
01
≠
±=
=
xxyy являются ча-
стными решениями, а функция
()
(
)
10
±
≠
=
=
yyxx – особым
решением уравнения (16).
Действительно, полупрямые
()
(
)
01
≠
±
=
=
xxyy лежат в
областях существования и единственности уравнения
xy
y
dx
dy
2
1
2
−
=
, (19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- …
- следующая ›
- последняя »
