Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

173
получающегося из (16) разрешением относительно
dx
dy
. Значит,
эти полупрямые есть частные решения ОДУ (1.19), а, следова-
тельно, и (16). Записав общий интеграл (18) в иной форме, вы-
делим из него эти частные решения. Положим в (18)
CC ln−= ,
где
0≠C – произвольная константа, тогда (18) перепишется
так:
Cxy ln21ln
2
+=− или .lnln1ln
22 x
eCy +=−
Отсюда имеем
x
eCy
22
1 =− и, в силу произвольности
C ,
.1
22 x
eCy =− (20)
Соотношение (20) – также общий интеграл ОДУ (16). Оно
получено в предположении
0≠C . Очевидно, решения
()
(
)
01
≠
±== xxyy уравнения (16) получаются из (20) при
значении
0=C . Но, как мы показали, эти решения – частные,
следовательно, в (20) можно допускать и
0=C . Т. о., частные
решения
(
)
1
±
=
= xyy уравнения (16) получаются из общего
интеграла (20) этого уравнения при
0=C .
Покажем сейчас, что функция
(
)
(
)
10
±
≠
=
= yyxx явля-
ется особым решением уравнения (16). Отметим, во-первых, что
соответствующая ей интегральная кривая не лежит в областях
существования и единственности уравнения
1
2
2
−
=
y
xy
dy
dx
,
перевернутого по отношению к (19), так как частная производ-
ная по
x
функции
(
)
1/2
2
−yxy в точках прямой 0
=
x обра-
щается в бесконечность. Убедимся теперь в том, что через каж-
дую точку интегральной кривой
(
)
(
)
10
±
≠
=
= yyxx
прохо-
дит по крайней мере две интегральные кривые уравнения (16).

Страницы