Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

175
f
где – функция одной переменной, т.е. правая часть (22) есть
однородная функция нулевого измерения.
uxy =
Однородное уравнение интегрируется посредством подста-
новки , где
u
–
x
новая неизвестная функция переменной
, то есть
( )
xuu =
, при этом
uxuy +
′
=
′
.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
( )
022 =−+ xdydxyx
. (23)
◄
Здесь функции и
( )
xyxN 2−=,
–
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.,22,
,,22,
yxtNxttxtytxN
yxtMyxttytxtytxM
=−=−=
=+=+=
однородные функции первого измерения, так как
uxy =
Следовательно, (23) – однородное ОДУ. Положим
тогда
udxxdudy +=
.
y
Подставим
dy
и
( ) ( )
,0222
,022
2
=−−+
=+−+
xudxduxuxdxxdx
udxxduxdxuxx
в (23), будем иметь
.02
2
=− duxxdx
(24)
( )
0,
2
1
2
≠− x
x
Уравнение (24) – это уравнение с разделяющимися пере-
менными. Умножением обеих частей на , приве-
дем его к уравнению с разделенными переменным
.
2
1
0
2
1
dx
x
dududx
x
=⇒=+−
Cxu += ln
2
1
Последнее имеет общее решение
,
0≠x
следовательно, при общее решение уравнения (1.23) есть
.ln
2
1
Cxxxy +=
(25)
( ) ( )
00 ≠== yyxx
Заметим, что функция является реше-
нием (23). Она является частным решением рассматриваемого

Страницы