Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

179
1.4. Линейные уравнения первого порядка
Опр. 12. Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ)
первого порядка называется уравнение вида
)()( xqyxp
dx
dy
=+ , (28)
где –
() ()
xqxp ,
непрерывные на некотором интервале ),( ba
)(
+
∞<<<−∞ ba
функции.
По теореме существования и единственности решения зада-
чи Коши через каждую точку полосы
(
)
{
}
+∞<<< ybxayx ,:,
проходит одна и только одна интегральная кривая рассматри-
ваемого уравнения.
Если
()
0
≡
xq , то уравнение (28) называется однородным
линейным
дифференциальным уравнением (ЛОДУ).
Это уравнение с разделяющимися переменными, его общее
решение есть
()
∫
=
− dxxp
Cey , (29)
где – произвольная постоянная, a
C
(
)
∫
dxxp означает перво-
образную функцию для функции
)(xpp
=
.
При
()
,0
≠
xq уравнение (28) называется неоднородным
(ЛНДУ).
Известны два метода решения ЛНДУ: метод вариации про-
извольной постоянной (метод Лагранжа) и метод подстановки
(метод Бернулли). Первый метод состоит в том, что общее ре-
шение ЛДУ (28) ищут в таком же виде, что и общее решение
соответствующего ему ЛОДУ, т.е. в виде (29). Но при этом счи-
тают произвольную постоянную
)(xСC
=
непрерывно диффе-
ренцируемой функцией от
x
.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
двумя методами.
x
eyy
2
3 =+
′
◄ 1) Метод Лагранжа.

Страницы