ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
6.3. Дифференциал сложной функции.
Инвариантность формы первого дифференциала
По определению дифференциала
dxxfdy
⋅
′
=
)( . Если
,
)(xfy = )(tx
ϕ
=
– дифференцируемые функции, то есть
()(
tfy
)
ϕ
=
, то
()()()()()()
=
′
== dttftfddy
ϕϕ
dxfdxdtdtf
xttx
′
==⋅
′
=⋅
′
⋅
′
=
ϕϕ
. (5)
Т. о., формула (4) справедлива для сложной функции, когда
x
– зависимая переменная. Следует заметить, что
dttdx )(
ϕ
′
=
– функция в (5), а в формуле (4) – число. dx
Данное свойство называется инвариантностью (неизменно-
стью) формы первого дифференциала.
Свойства дифференциала:
1.
dvduvud
±
=
± )(
;
2.
dvuduvvud
⋅
+
⋅
=
⋅ )( ;
3.
2
v
dvuduv
v
u
d
⋅−⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, 0
≠
v .
Доказываются эти формулы с помощью определения диф-
ференциала и основных правил дифференцирования. Например,
()() ( )
()()
.dvuduvdxvudxuv
dxvuvudxvuvud
⋅+⋅=
′
+
′
=
=
′
⋅+⋅
′
=
′
⋅=⋅
Замечание. Исходя из определения дифференциала и его
свойств, нетрудно найти дифференциалы элементарных функ-
ций. Например, для функции
xy sin
=
дифференциал равен
dxxxd
⋅
= cos)(sin .
6.4. Использование дифференциала
для приближенных вычислений
То, что в выражении
xdyy Δ⋅
+
=
Δ
α
второе слагаемое яв-
ляется бесконечно малой более высокого порядка чем
x
Δ
, по-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
