Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

195
2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три наиболее распространенных вида диффе-
ренциальных уравнений -го поряда, допускающих понижение
порядка.
n
1. . (52)
)(
)(
xfy
n
=
2. . (53)
0),,,(
)()(
=
nk
yyxF K
3. . (54)
0),,(
)(
=
′
n
yyyF K
Общее решение уравнения (52) получается с помощью -
кратного интегрирования
n
nn
nn
CxCxCxCdxxfdxdxy +++++=
−
−−
∫
∫∫
1
2
2
1
1
)( KK ,
т.е. общий интеграл уравнения (52) есть сумма какого-либо ча-
стного решения этого уравнения и многочлена
)1(
−
n -ой степе-
ни с произвольными постоянными коэффициентами.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
x
y
2
cos
1
=
′′
и
его частное решение, удовлетворяющее условиям
2
2ln
4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
y
,
1
4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
π
y .
◄ Интегрируя первый раз, получим
1
2
tg
cos
Cx
x
dx
y +==
′
∫
. После повторного интегрирования бу-
дем иметь
(
)
∫
∫
∫
=+=+= dxCxdxdxCxy
11
tgtg
11
12
sin (cos )
cos cos
ln cos .
xdx d x
Cdx CxC
xx
xCxC
=+=− ++
∫∫∫
=− + +
2
=
Сл-но,
1
ln cosу xCxC
2
=
−++ – общее решение.
2) Чтобы найти частное решение, подставим в полученное
общее решение и в выражение для первой производной

Страницы