Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

213
корнем кратности 2 характеристического уравнения, сл-но,
имеет место формула (73):
(
)( )
24
x
y
xxDxEe=+
%
, где и –
неопределенные коэффициенты. Общее решение исходного
уравнения имеет вид
D E
() ( )
(
)
(
)
43244 2
12 12
xxx
yx CCxe Dx Ex e eCCxEx Dx=+ ⋅+ + ⋅= ++ +
3
.
б) Для уравнения
(
)
4
44 sin2yyyx
′′
++= x
0
соответ-
ствующее характеристическое уравнение
42
44
λ
+λ+ =
имеет кратные корни
12
2
,
iλ=± ,
34
2
,
iλ=± , т.е. 2r
=
.
Согласно формуле (70) с учетом кратности корней получим
общее решение соответствующего ЛОДУ
() ()
123 4
13 24
cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
cos 2 sin 2 .
CxCxCxxCx
xC Cx xC Cx
=++ +
=+++
x=
Для того, чтобы выписать частное решение
(
)
y
x
%
,
анализируем правую часть
(
)
sin 2
f
xx= x, где
(
)
n
Px x
=
, т.е.
,
1n =
()
0
m
Qx
≡
, т.е.
(
)
0max,ms mn1
≡
⇒= =. Сл-но, мно-
гочлены с неопределенными коэффициентами
(
)
s
M
x и
(
)
s
Nx
имеют одну и ту же степень
1s
=
, но разные коэффициенты, т.е.
()
1
M
xAxB
(
)
1
L
xCxD=+,
=
+ .
Составим число
i
+
α
β
по виду правой части
02i+=+i
α
β
(так как
0
x
x
ee
α
= ), поскольку
i
+
α
β
не
совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения,
то частное решение
(
)
y
x
%
ищем в виде (74)
() ( )
(
)
cos 2 sin 2
y
x AxB x CxD x=+ ++
%
, а общее решение
yyy=+
%
есть
()
(
)
(
)
() ()
13 24
cos 2 sin 2
cos 2 sin 2 .
y
xCCx xCCx x
Ax B x Cx D x
=+ ++
++ ++
+

Страницы