ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
Если
x
– зависимая переменная: )(tx
ϕ
=
– дифференци-
руемая функция, то есть
(
)(
tfy
)
ϕ
=
, тогда, поскольку
, то второй дифференциал равен
dxxfdy )('=
(
)
(
)
(
)()
(
)
(
)
(
)
() ()
,
22
2
xdxfdxxf
dxdxfdxxfddxxfddydyd
′
+
′′
=
=
′
+
′
=
′
==
(9)
здесь .
22
)( dttxd
ϕ
′′
=
Сравнивая формулы (7) и (9), убеждаемся, что в случае
сложной функции формула дифференциала второго порядка из-
меняется: появляется второе слагаемое .
xdxf
2
)(
′
Т.о., свойство инвариантности для дифференциалов высших
порядков в случае сложной функции не выполняется.
§ 8. Производная функции, заданной неявно
Если функция задана уравнением
0),(
=
yxF , не разре-
шенным относительно , то говорят, что функция задана неяв-
но (например, ).
y
012 =−+−
y
yx
Производная функции, заданной неявно, находится путем
дифференцирования уравнения, задающего эту функцию, по
x
,
рассматривая при этом
y
как функцию
x
. Затем, полученное
уравнение, необходимо разрешить относительно
y
′
.
Пример 1. Найти производную функции
y
, заданной неяв-
но .
0)sin( =−+
− yx
eyx
◄ Дифференцируя обе части равенства по
x
и помня, что
y
есть функция от
x
, получим:
)cos(
)cos(
0)1()cos()1(
)(
)(
)(
yxe
yxe
yeyyxy
yx
yx
yx
++
+−
=
′
=>=
′
−−+
′
+
−
−
−
.
►
Нахождение производной второго порядка от функции, за-
данной неявно, поясним на следующем примере.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
