Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

226
Предположим, что характеристическое уравнение имеет
различных корней
n
n
λ
λ
λ
,,,
21
K , которые являются характери-
стическими числами матрицы . Каждому характеристическо-
му числу соответствует свой собственный вектор. Пусть харак-
теристическому числу
A
k
λ
соответствует собственный вектор
, где
),,,(
21 nkkkk
pppP K= nk ,1= , который находится из мат-
ричного уравнения
(
)
θ
λ
=
⋅
−
kk
PEA , где
θ
– нулевая матрица
размером .
1×n
Тогда СДУ имеет решений:
n
1-ое решение, соответствующее корню
1
λ
=
λ :
;,,,
111
1121211111
t
nn
tt
epxepxepx
λλλ
=== K
2-ое решение, соответствующее корню
2
λ
=
λ :
;,,,
222
2222221212
t
nn
tt
epxepxepx
λλλ
=== K
………………………………………………….
n -ое решение, соответствующее корню
n
λ
=
λ
:
.,,,
2211
t
nnnn
t
nn
t
nn
nnn
epxepxepx
λλλ
=== K
Мы получили фундаментальную систему решений. Общее
решение СДУ таково:
.
,
,
2211
22222112
11221111
nnnnnn
nn
nn
xCxCxCx
xCxCxCx
xCxCxCx
+++=
+++=
+
+
+
=
K
KKKKKKKKKKKK
K
K
Случаи комплексных и кратных корней рассмотрим на
примерах.
Решение неоднородной СДУ рассмотрим на примере СДУ
2-го порядка вида:
FAX
dt
dX
+= ,
где ,
()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ty
tx
X
(
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
ty
tx
dt
dX
, ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
aa
aa
A
(
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
tf
tf
F
2
1
.

Страницы