ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39
()
0)( <
′
xf при
(
)
00
, xxx
δ
−
∈
, а 0)(
<
′
xf
(
)
0)( >
′
xf при
()
δ
+∈
00
, xxx , то в точке функция имеет локальный мак-
симум (локальный минимум).
0
x
Если во всей
)(xf
′
δ
-окрестности точки имеет один и
тот же знак, то в точке локального экстремума нет.
0
x
0
x
Пример 2. Найти точки экстремума функции
.
()
5
2)( −= xxf
◄ ,
()
5
2)( −= xxf
(
)
025)('
4
=−= xxf .
2
0
=x – стационарная точка, не являю-
щаяся точкой экстремума. Точек экстремума нет. ►
Замечание 1. В точке экстремума производная может не
существовать или обращаться в бесконечность (критическая
точка!), но обязательно меняет знак в
−
δ окрестности этой точ-
ки. В этом случае экстремум называют острым (в противопо-
ложность гладкому экстремуму, который имеет функция с не-
прерывной производной). Примером может служить функция
xy =
, у которой в точке 0
=
x производная не существует, но
, а
0)00( <−
′
f 0)00( >
+
′
f .
Теорема 4 (2-е достаточное условие экстремума). Пусть
функция в стационарной точке дважды непрерывно
дифференцируема. Тогда функция имеет в точке мак-
симум, если
)(xf
0
x
)(xf
0
x
0)(
0
<
′
′
xf , и минимум, если 0)(
0
>
′
′
xf .
Пример 3. Найти точки экстремума функции
.
43)(
23
−−= xxxf
◄
),2(363)('
2
−=−= xxxxxf 0)2(3
=
−
xx , 0
01
=
x ,
– стационарные точки.
2
02
=x 66)(
−
=
′
′
xxf , 06)0(
<
−
=
′
′
f ,
. – точка максимума, – точка миниму-
ма.►
06)2( >=
′′
f
01
x
02
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
