Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

55
Пример 8.
∫
xdx
2
tg .
◄ Воспользуемся формулой
x
x
2
2
cos
1
tg1
=+ , откуда
1
cos
1
tg
2
2
−=
x
x
. В результате интеграл примет вид:
Cxxdx
x
dx
dx
x
xdx
+−=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫∫∫∫
tg
cos
1
cos
1
tg
22
2
.►
§ 2. Метод замены переменной
Процесс вычисления интегралов состоит в том, что инте-
грал с помощью различных преобразований приводят к извест-
ному интегралу (как правило, к одному из табличных). К преоб-
разованиям относятся, в первую очередь, алгебраические преоб-
разования, замена переменной и интегрирование по частям.
Вычисления интегралов путем алгебраических преобразо-
ваний
были рассмотрены в предыдущем параграфе.
Данный параграф посвящен методу замены переменной.
Пусть функция
(
)
xf непрерывна на интервале
(
)
ba, и
()
tx
ϕ
= , где функция
(
)
t
ϕ
непрерывно дифференцируема на
интервале
()
β
α
, ; причем функция
()
t
ϕ
отображает интервал
()
β
α
, в интервал
(
)
ba, . Пусть также функция
(
)
tx
ϕ
=
имеет
обратную
(
)
xt
1−
=
ϕ
, определенную на
(
)
ba, . Тогда
()
(
)
()
()()()
∫∫
′
=
′
=
=
= dtttf
dttdx
tx
dxxf
ϕϕ
ϕ
ϕ
.
После вычисления интеграла в правой части следует вер-
нуться к старой переменной
, то есть вместо новой перемен-
ной
t подставить её значение
(
)
x
1−
ϕ
.
Пример 1.
∫
+ dxxx 5
.
◄ Чтобы избавиться от корня, положим
tx =+ 5 . Тогда
5
2
−= tx и, сл–но, tdtdx 2
=
. После подстановки получим
(
)
(
)
∫∫
=−=⋅−=
∫
+ dttttdtttdxxx
242
102255

Страницы