Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

10
Аналогично, если дано выражение
)( atf −
, где
0≥a
, то
оно имеет место лишь для
at ≥
, тогда как для
at <
функция
0)( =− atf
.
Заметим, что если функция
)(tf
не удовлетворяет хотя бы
одному из указанных трех условий, то она не является оригина-
лом. Так, для функции
t
tf
1
)( =
нарушено условие 1 (в точке
0=t
она терпит разрыв второго рода), для функции
2
)(
t
ettf =
не выполняется условие 3 (она растет быстрее показательной
функции); поэтому эти функции не могут быть оригиналами.
Отметим также, что необязательно считать оригинал
)(tf
действительной функцией. Функция
)(tf
может быть и ком-
плексно-значной, то есть иметь вид
)()()( tvitutf +=
. При
этом действительная и мнимая части
)(tu
и
должны быть
оригиналами, то есть удовлетворять условиям 1,2,3.
Опр. 2. Функция комплексной переменной
βα
ip +=
( )
0>
α
( ) ( )
dtetfpFpF
pt−
+∞
∫
=→
0
:
(1)
называется изображением (
L
-изображением) оригинала
f
.
Операцию перехода от оригинала к изображению в соот-
ветствии с формулой (1) называют прямым преобразованием
Лапласа. Оригинал и изображение обозначаются как
( ) ( ){ }
tfLpF =
,
( ) ( )
tfpF →
,
( ) ( ){ }
pFLtf
1−
=
.
Для оригинала и изображения выполняется соотношение
( )
( )
∫
∞⋅+
∞⋅−
=
i
i
pt
dtepF
i
tf
α
α
π
2
1
,
которое называется обратным преобразованием Лапласа (оты-
скание оригинала по изображению).

Страницы