Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

170
Т.о., ряд (1) сходится абсолютно при
( )
5;3−∈x
и в точках
3−=x
и
5=x
. Значит, он сходится на отрезке
[ ]
5;3−
. ►
2.3. Свойства степенных рядов
1. Если
0>R
– радиус сходимости СР (1)
∑
+∞
=0n
n
n
xa
, то
ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на отрезке
[ ]
ρρ
;−
для любого числа
ρ
такого, что
.
2. Если
0>R
– радиус сходимости СР (1), а
( )
xS
– сум-
ма ряда (1) на интервале
( )
RR;−
, то функция
( )
xS
непрерывна
на интервале
( )
RR;−
.
3. Если
0>R
– радиус сходимости степенного ряда (1)
∑
+∞
=0n
n
n
xa
, то данный ряд можно сколько угодно раз почленно ин-
тегрировать на любом отрезке
[ ]
ρρ
;−
, где
. При
этом радиус его сходимости не изменяется.
4. Если
0>R
– радиус сходимости СР (1), то данный ряд
можно сколько угодно раз почленно дифференцировать. При
этом радиус его сходимости не изменяется.
Пример 5. Найти сумму ряда (1)
∑
+
∞+
=
+
0
1
1
n
n
n
x
.
◄ Т.к
∫
=
+
+
x
n
n
dxx
n
x
0
1
1
, то одновременно с рядом (1) рассмот-
рим СР (2)
∑
+∞
=0n
n
x
. Ряд (2) сходится на интервале
( )
1;1−
. Найдем
его сумму. Частичная сумма ряда (2)
( )
xS
n
)2(
имеет вид
( )
( )
.
1
11
...1
прогрессии
скойгеометричесумма
12)2(
x
x
xxxxS
n
n
n
−
−⋅
=
=
=
++++=
−

Страницы