Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

171
При
( )
1;1−∈x
( )
x
x
x
xSxS
n
n
n
n
−=
−
−
==
+∞→+∞→
1
1
1
lim)(lim
)2()2(
.
По свойству 3 СР ряд (2) можно почленно интегрировать,
причем радиус его сходимости при этом не изменяется. Т.е.
( )
.1;1,)(
0
00
)2(
−∈
∑
∫
=
∫
+∞
=
xdxxdxxS
n
x
n
x
Получим
dxxdx
x
n
x
n
x
∑
∫
=
∫
−
+∞
=0
00
1
1
или
∑
+
=−−
∞+
=
+
0
0
1
1
1ln
n
x
n
n
x
x
.
Т.е.
∑
+
=−−
∞+
=
+
0
1
1
1ln
n
n
n
x
x
.
Т.о., для любого
( )
1;1−∈x
( )
x
n
x
n
n
−−=
∑
+
∞+
=
+
1ln
1
0
1
. Значит,
ряд (1) сходится на интервале
( )
1;1−∈
x
к функции
. ►
Пример 6. Найти сумму ряда (1)
∑
∞+
=
−
1
1
2
sin
n
n
n
x
n
.
◄ Обозначим
xy sin=
. Тогда ряд примет вид
∑
∞+
=
−
1
1
2
n
n
n
yn
.
Т.к.
′
=
−
n
n
n
n
yny
22
1
, то одновременно с рядом (1) рассмот-
рим ряд (2)
∑
∞+
=1
2
n
n
n
y
, для которого
n
n
a
2
1
=
, радиус сходимости:
22lim
1
lim
)2(
===
+∞→+∞→ n
n
n
n
a
R
.
При этом на интервале
( ) ( )
( )
( )
2;2;
22
−=− RR
ряд (2) явля-
ется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрес-

Страницы