Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

172
сии, поэтому
y
yyyyy
yS
y
y
n
n
n
−
=
−
=+
+
+=
∑
=
∞+
=
2
1
...
222
2
)(
2
2
32
1
)2(
.
По свойству 4 СР ряд (2) можно почленно дифференциро-
вать, причем при этом радиус его сходимости не изменится.
Т.е. при
( )
2;2−∈y
( )
∑
′
=
′
∞+
=1
)2(
2
)(
n
y
n
n
y
y
yS
или
∑
=
′
−
∞+
=
−
1
1
2
2
n
n
n
y
ny
y
y
. Получим
( )
∑
=
−
−
∞+
=
−
1
1
2
2
2
22
n
n
n
ny
y
y
.
Т.о., для любого
( )
2;2−∈y
(1)
( )
)(
2
22
2
)1(
2
1
1
yS
y
yny
n
n
n
=
−
−
=
∑
∞+
=
−
.
Т.к.
xy sin=
, то
( )
2
)1(
sin2
sin22
)(
x
x
xS
−
−
=
при условии, что
. Учитывая, что для любого
R∈x
1sin ≤x
, то
для любого
R∈x
( )
2;2sin −∈x
. Поэтому ряд (1) сходится при
всех
R∈x
и его сумма
2
)1(
)sin2(
sin22
)(
x
x
xS
−
−
=
. ►
Замечание 4. Рассмотренные примеры 5 и 6 показывают,
что для вычисления суммы степенного ряда следует подобрать
другой степенной ряд, сумму которого можно легко найти и ка-
ждый член которого является производной (или первообразной)
соответствующего члена исходного ряда.
§ 3. Разложение функции в ряд Тейлора
3.1. Определение ряда Тейлора
В предыдущем параграфе мы изучили свойства СР и их
сумм. Зная вид СР, мы можем в ряде случаев найти функцию,

Страницы