Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

173
которая является его суммой. Часто на практике возникает не-
обходимость решать обратную задачу: можно ли для данной
функции получить ее представление в виде СР? Как будут вы-
глядеть коэффициенты этого ряда и его область сходимости?
Нам известно ([8], с. 33), что любую
( )
1+n
раз дифферен-
цируемую в окрестности точки
0
x
функцию
( )
xfy =
можно
представить по формуле Тейлора
*
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
,
!!
...
!2!1
0
0
0
)(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
xrxx
k
xf
xrxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
n
k
n
k
k
n
n
n
+−
∑
=+−+
++−
′′
+−
′
+=
=
:
где
( )
xr
n
– остаточный член формулы Тейлора, записанный,
например, в форме Лагранжа
( )
( )( )
( )
( )
10,
!1
1
0
00
)1(
<<−
+
−+
=
+
+
θ
θ
n
n
n
xx
n
xxxf
xr
.
Предположим, что функция
( )
xfy =
бесконечно диффе-
ренцируема (имеет конечную производную любого порядка) в
окрестности точки
0
x
. Тогда по аналогии с формулой Тейлора
для функции
( )
xfy =
мы можем составить ряд
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
!
...
!
...
!2!1
0
0
0
)(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
∑
−=+−+
++
−
′′
+−
′
+
∞+
=n
n
n
n
n
xx
n
xf
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xf
Данный ряд называется формальным рядом Тейлора для
функции
, и используется обозначение
( )
( )
( )
∑
−
∞+
=0
0
0
)(
!
~
n
n
n
xx
n
xf
xf
.
Название «формальный ряд Тейлора» говорит о том, что
нам неизвестно: является ли данный степенной ряд сходящимся
*
Тейлор Брук – английский математик (1685 — 1731).

Страницы