Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

174
и будет ли он сходиться именно к функции
( )
xf
. Для ответа на
эти вопросы используем следующие теоремы.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие сходимости
ряда Тейлора). Формальный ряд Тейлора
(1)
( )
( )
∑
−
∞+
=0
0
0
)(
!
n
n
n
xx
n
xf
сходится к функции
( )
xfy =
в точке
x
тогда и только тогда, когда
( )
0lim =
+∞→
xr
n
n
, где
( )
xr
n
– ос-
таточный член формулы Тейлора.
Теорема 2 (достаточное условие сходимости ряда Тейло-
ра). Если в некоторой окрестности точки
0
x
все производные
функции
( )
xfy =
равномерно ограничены (т.е.
0>∃M
такое,
что
x∀
( )
Mxf
n
≤
)(
), то формальный ряд Тейлора
функции
( )
xfy =
сходится к функции
( )
xf
в этой окрестно-
сти точки
0
x
.
Мы изучили условия, при которых формальный ряд Тейло-
ра функции
( )
xfy =
сходится к этой функции. Этот ряд явля-
ется СР, сходящимся к функции
( )
xfy =
. Возникает вопрос:
может ли какой-то другой СР сходится к функции
( )
xfy =
?
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3 (о разложении функции в СР). Если СР (2)
( )
∑
−
+∞
=0
0
n
n
n
xxa
сходится к функции
( )
xfy =
на интервале
( )
RxRx +−
00
;
, где
R
– радиус сходимости СР, то он являет-
ся рядом Тейлора для функции
( )
xfy =
, т.е. его коэффициен-
ты
n
a
удовлетворяют условию
( )
!
0
)(
n
xf
a
n
n
=
.
Опр. 1. Функция
( )
xfy =
называется аналитической в не-
которой окрестности точки
0
x
, если в этой окрестности она
разлагается в СР.

Страницы