Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

177
функции
x
ey =
.
◄ Составим формальный ряд Маклорена для функции
x
ey =
:
x
ey =
( )
1
0
0
== exy
x
ey =
′
( )
1
0
=
′
xy
x
ey =
′′
( )
1
0
=
′′′
xy
…
xn
ey =
)(
( )
1
0
)(
=xy
n
…
Формальный ряд Маклорена для функции
x
ey =
будет
иметь вид:
∑
=+++++
∞+
=0
2
!!
1
!2
1
!1
1
1~
n
n
nx
n
x
x
n
xxe
.
Найдем радиус сходимости данного СР:
( )
( )
( )
.1lim
!
!1
lim
!1
1
!
1
limlim
1
+∞=+=
+
=
+
==
+∞→+∞→+∞→
+
+∞→
n
n
n
n
n
a
a
R
nnn
n
n
n
Т.о., данный СР сходится на интервале
( )
∞+∞− ;
.
Покажем, что полученный степенной ряд сходится именно
к функции
x
ey =
. Для этого запишем остаточный член форму-
лы Тейлора
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
=−
+
=−
+
−+
=
+
−+
+
+
1
00
1
0
00
1
0
!1!1
n
x
n
n
n
x
n
e
xx
n
xxxf
xr
θ
θ
( )
!1
1
+
=
+
n
xe
n
θ
и вычислим
( )
xr
n
n +∞→
lim
.
Рассмотрим вспомогательный ФР (*)
( )
∑
+
∞+
=
+
0
1
!1
n
n
n
xe
θ
. Т.к. ради-
ус сходимости ряда (*)

Страницы