Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

178
( )
( )
( )
( )
+∞=+=
++
==
+∞→+∞→
+
+∞→
2lim
!2
:
!1
limlim
1
*
n
n
e
n
e
a
a
R
nn
n
n
n
θθ
,
то ряд (*) сходится при всех
R∈x
. Тогда по необходимому ус-
ловию сходимости числовых рядов
n
-й член ряда (*) стремится
к нулю при
∞→n
, то есть
( )
0
!1
lim
1
=
+
+
+∞→
n
xe
n
n
θ
.
Т.о., при всех
R
∈x
получили, что
( )
0lim =
+∞→
xr
n
n
. Т.е. ряд
Маклорена
∑
∞+
=0
!
n
n
n
x
сходится к функции
x
ey =
при всех
( )
∞+∞−∈ ;x
. ►
Пример 2. Получить разложение в ряд Маклорена для
функции
.
◄ Т.к.
2
sh
xx
ee
x
−
−
=
, то запишем разложение в ряд Мак-
лорена для функций
x
e
и
x
e
−
:
( )
∞+∞−
∈++++++= ;,
!5
!4!3!2!1
1
5432
x
xxxxx
e
x
,
( )
∞+∞−∈+−+−+−=
−
;,
!5!4!3!2!1
1
5432
x
xxxxx
e
x
.
Т.к. сходящиеся ряды можно почленно складывать (вычи-
тать), то мы получим
( )
( )
.;,
!5
2
!3
2
!1
2
!3!3!2!2!1!1
11
53
3322
∞+∞−∈+++=
=+
−−+
−+
−−+−=−
−
x
xxx
xxxxxx
ee
xx
Сходящийся ряд можно умножать (делить) на отличное от
нуля число, поэтому

Страницы