Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

184
разложение в СР (ряд Тейлора) на некотором интервале
( )
RR;−
. Требуется вычислить значение функции
( )
xfy =
при
( )
RRxx ;
1
−∈=
с заданной точностью
0>
ε
.
Т.к. функция представима в виде СР, то
( )
......
1
1
2
210
++++++=
+
+
n
n
n
n
xaxaxaxaaxf
Соответственно при
1
xx =
получаем
( )
......
1
11
1
2
121101
++++++=
+
+
n
n
n
n
xaxaxaxaaxf
(1)
Подберем номер
n
таким образом, чтобы остаток ряда (1)
удовлетворял условию
ε
<
n
R
.
Тогда
( )
n
nn
xaxaxaaSxf
1
2
121101
...++++=≈
с указанной
точностью
0>
ε
.
Замечание 1. Существуют различные способы оценки ос-
татка
n
R
ряда (1). Наиболее простая оценка получается в слу-
чае, когда ряд (1) удовлетворяет теореме Лейбница.
Пример 1. Вычислить значение
e
с точностью до
001,0=
ε
.
◄ Используем разложение функции
x
ey =
в ряд Маклоре-
на:
( )
...
!1!
...
!3!2!1
1
132
+
+
++++++=
+
n
x
n
xxxx
e
nn
x
.
Тогда
( ) ( ) ( )
( )
...
!1
2/1
!
2/1
...
!2
2/1
!1
2/1
1
12
2
1
+
+
+++++==
+
nn
ee
nn
Подберем
n
т.о., чтобы
( )
( )
( )
( )
ε
<+
+
+
+
=
++
...
!2
2/1
!1
2/1
21
nn
R
nn
n
.
В нашем случае

Страницы